Identitas Trigonometri ~ Lagrangian and Hamiltonian

Trigonometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga. Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan antar fungsi trigonometri, meliputi fungsi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan). Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari tentang rumus identitas trigonometri dan fungsi trigonometri.

Fungsi trigonometri yang terdiri atas sin, cos, tan, cosec, sec, dan cotan dapat digunakan untuk menentukan sisi sebuah segitiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga. Aplikasi ilmu trigonometri digunakan dalam bidang astronomi, geografi, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi.

Pada umumnya, sebuah segitiga siku-siku terdiri dari 3 sisi (sisi miring, sisi samping, dan sisi depan). Begitu juga untuk segitiga bentuk lainnya, hanya saja, jenis sisi pada bentuk segitiga lainnya tidak dapat dibedakan.

Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Hal ini terbukti jika ketiga sudut segitiga disusun bersampingan akan membentuk sebuah garis lurus, seperti terlihat pada gambar di bawah. 

Kita tahu bahwa besar sudut pada garis lurus adalah 180 derajat. Sehingga, terbukti bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah $180^{o}$ .

Selanjutnya, masuk dalam pembahasan pertama tentang identitas trigonometri, yaitu pengantar identitas trigonometri. Simak uraiannya dengan baik pada materi yang diberikan di bawah.

Pengantar Identitas Trigonometri

Sebelum membahas identitas trigonometri, akan diulas terlebih dahulu sisi segitiga siku-siku yang terdiri atas tiga sisi, yaitu sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Sisi depan merupakan sisi yang berada di depan sudut. Sedangkan sisi samping berada pada samping sudut. Sisi miring merupakan sisi yang selalu berhadapan dengan sudut $90^{o}$ . Jadi, letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring tergantung pada letak sudut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.

Terlihat perbedaannya bukan?

Sebelumnya, telah disinggung bahwa fungsi trigonometri menyatakan hubungan sudut dengan sisi yang terdapat pada sebuah segitiga. Tiga fungsi trigonometri yang utama adalah fungsi sin, cos, dan tan. Definisi ketiga fungsi tersebut dengan sisi dan sudut pada segitiga dapat dilihat pada gambar dan persamaan di bawah.

Ada “jembatan keledai” yang dapat digunakan untuk mengingat persamaan fungsi trigonometri. Jembatan keledai tersebut berbunyi sindemi cossami tandesa.

Selain tiga sudut utama pada fungsi trigonometri, yaitu fungsi sin, cos, dan tan, terdapat fungsi kebalikannya, yaitu fungsi coses, sec, dan cotan. Perhatikan persamaan yang diberikan di bawah.

Dalam trigonometri terdapat sudut istimewa yang sering digunakan dalam pembahasan trigonometri di sekolah. Besar sudut istimewa tersebut adalah $0^{o}$ , $30^{o}$ , $45^{o}$ , $60^{o}$ , dan $90^{o}$ . Selain itu juga terdapat sudut istimewa lain, karena grafik trigonometri bersifat periodik. Nilai besar sudut dari lima sudut istimewa pada segitiga dapat dilihat pada gambar di bawah.

Rumus berikut dapat digunakan untuk mencari besar nilai fungsi trigonometri yang ada hubungannya dengan sudut istimewa yang diberikan di atas. Berikut ini adalah relasi sudut fungsi trigonometri.

Untuk menjelaskan lebih detail penggunaan relasi sudut fungsi trigonometri akan ditunjukkan melalui contoh soal. Akan ditentukan nilai sudut $Sin \; 225^{o}$ .

$Sin \; 225^{o} = - Sin (180^{o} + 45^{o} )$

$Sin \; 225^{o} = - Sin \; 45^{o}$

$Sin \; 225^{o} = - \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Terlihat fungsi rumus relasi sudut pada identitas trigonometri bukan? Salah satu fungsinya untuk menentukan besar fungsi trigonometri untuk sudut yang cukup besar (di atas $90^{o}$ ) hanya dengan menegtahui besar sudut istimewa di bawah $90^{o}$ .

Sedangkan untuk sudut yang tidak ada hubungannya dengan sudut istimewa dapat dicari menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator

Rumus Identitas Trigonometri

Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri lainnya, misalkan fungsi secan yang merupakan fungsi kebalikan dari fungsi cosinus. Begitu juga dengan fungsi kebalikan lain. Selain fungsi kebalikan, ada fungsi identitas trigonometri yang juga menyatakan hubungan antar fungsi trigonometri. Beberapa hubungan persamaan tersebut dapat dilihat seperti berikut.

Sebenarnya, ada banyak fungsi identitas trigonometri. Tiga fungsi identitas trigonometri yang diberikan di atas hanyalah sebagian. Rumus tersebut merupakan rumus turunan yang diperoleh dengan menghubungkan satu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya. Karena merupakan fungsi identitas, fungsi-fungsi tersebut dapat dibuktikan kebenarannya. Cara membuktikannya dapat dengan cara merubah ruas kiri agar sama dengan ruas kanan, ataupun sebaliknya.

Sebagai contoh, akan dibuktikan kebenaran dari rumus identitas trigonometri $sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$ .

Pembuktian rumus $sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$

Perhatikan gambar di bawah!

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \left( \frac{y}{r} \right)^{2} + \left( \frac{x}{r} \right)^{2}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{y^{2}}{r^{2}} + \frac{x^{2}}{r^{2}}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{y^{2} + x^{2}}{r^{2}}$

Sebelum melanjutkan pembuktian rumus, ingat kembali persamaan pada pythagoras seperti yang terlihat pada gambar di bawah.

rumus identitas trigonometri dan pembuktiannya

Substitusi persamaan $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ke dalam persamaan terakhir yang diperoleh, sehingga menjadi seperti berikut.

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{r^{2}}{r^{2}}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$

Terbukti

Untuk pembuktian rumus identitas lainnya dapat dibuktikan dengan teknik dan melibatkan persamaan $sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$ yang telah dibuktikan sebelumnya.

Selanjutnya, akan diulas identitas trigonometri lain yang tidak kalah penting dengan rumus identitas trigonometri yang sudah diberikan sebelumnya. Selain rumus identitas di atas, terdapat rumus identitas lain yaitu rumus identitas trigonometri dari rumus sudut rangkap fungsi trigonometri. Perhatikan persamaan di bawah.

Fungi identitas trigonometri yang diberikan di atas dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri atau berbagai topik masalah dalam pembahasan matematika lain. Untuk menambah pemahaman sobat idschool tentang rumus identitas trigonometri, simak contoh soal dan pembahasan tentang pembuktian identitas trigonometri di bawah.