Dasar Dasar Limit

Limit adalah subjek matematika yang mempelajari apa yang terjadi pada suatu fungsi ketika inputnya dimasukkan mendekati suatu angka. Notasi umum untuk limit adalah:

${\displaystyle \quad \lim _{x\to a}f(x)}$

Ini dibaca sebagai "Limit dari ${\displaystyle f(x)}$ ketika ${\displaystyle x}$ mendekati ${\displaystyle a}$. Nanti kita akan membahas kapan kita dapat menentukan apakah suatu limit ada untuk setiap ${\displaystyle f(x)}$ pada ${\displaystyle a}$ atau tidak, dan apa artinya jika limit tersebut ada. Sekarang, kita akan melihat dari sudut pandang intuitif terlebih dahulu.

Katakan jika ada sebuah fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, dan kita akan memasukkan pada limitnya ketika ${\displaystyle x}$ mendekati ${\displaystyle 2}$. Dengan menggunakan notasi diatas, kita dapat menuliskan limitnya sebagai:

${\displaystyle \quad \lim _{x\to 2}x^{2}}$

Cara yang dipakai untuk mendapatkan berapa nilai limit adalah dengan mencoba masukkan angka yang mendekati 2, hitunglah nilai masing-masing pada fungsi ${\displaystyle f(x)}$, dan lihat apa yang terjadi ketika x mendekati 2. Dapat dilihat di tabel di bawah ini:

${\displaystyle x}$	1,7	1,8	1,9	1,95	1,99	1,999
${\displaystyle f(x)=x^{2}}$	2,89	3,24	3,61	3,8025	3,9601	3,996001

Sekarang kita coba masukkan untuk angka yang mendekati 2 dari atas:

${\displaystyle x}$	2,3	2,2	2,1	2,05	2,01	2,001
${\displaystyle f(x)=x^{2}}$	5,29	4,84	4,41	4,2025	4,0401	4,004001

Dari hasil tabel diatas, dapat kita lihat bahwa jika nilai ${\displaystyle x}$ semakin mendekati angka 2, maka nilai ${\displaystyle f(x)}$ akan semakin mendekati 4, baik dari atas maupun dari bawah. Untuk alasan ini, maka kita dapat memastikan bahwa limit ${\displaystyle x^{2}}$ ketika ${\displaystyle x}$ mendekati 2 adalah 4, atau jika ditulis dalam notasi limit,

${\displaystyle \quad \lim _{x\to 2}x^{2}=4.}$

Sekarang mari kita lihat contoh lainnya. Kita akan melihat karakter dari fungsi ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x-2}}}$ ketika nilai ${\displaystyle x}$ dimasukkan mendekati 2. Limitnya adalah:

${\displaystyle \quad \lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}}$

Seperti sebelumnya, kita dapat memasukkan nilai-nilai ${\displaystyle x}$ yang mendekati 2 dari bawah maupun dari atas. Berikut ini tabel untuk nilai ${\displaystyle x}$ mendekati 2 dari bawah:

${\displaystyle x}$	1,7	1,8	1,9	1,95	1,99	1,999
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x-2}}}$	-3,333	-5	-10	-20	-100	-1000

Dan tabel ini untuk ${\displaystyle x>}$ mendekati 2 dari atas:

${\displaystyle x}$	2,3	2,2	2,1	2,05	2,01	2,001
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x-2}}}$	3,333	5	10	20	100	1000

Pada kasus ini, terlihat bahwa fungsi tidak memiliki satu nilai untuk ${\displaystyle x}$ mendekati 2, tapi malah salig berjauhan satu sama lain. Limit ini disebut dengan limit tak terhingga. Perhatikan bahwa kita tidak dapat memasukkan angka 2 dalam fungsi ${\displaystyle {\frac {1}{x-2}}}$ karena berarti akan membaginya dengan nol.